en Juegos, Matemáticas

El más común de los tableros

Otro juego con cartas, esta vez para enseñarles cómo realizar el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Además sirve para mostrarles la relación existente entre ambos.

Hay que «imprimir» el siguiente tablero, la idea es ponerle un acetato encima y poder pintar los resultados con un rotulador de los de pizarra (que se pueda borrar pasándole la mano o un trapo). También se puede usar una cartulina verde (del color de los tapetes de las mesas de juego) y tiza blanca. Para la descomposición factorial vamos a usar las mismas cartas (sacamos de la baraja todos los 2,3,5,7 y caballos). Como veréis sólo necesitamos los números primos de la baraja.

Vamos a empezar poco a poco y de lo fácil a lo complicado:

Máximo común divisor.

Se eligen 2 números a los cuales se quiere extraer el máximo común divisor. Se anotan en el recuadro números cada uno en un sitio. A continuación se empieza a «probar» dividiendo por los números primos 2,3,5,7,11. Si la división es exacta se saca una carta y se coloca en el recuadro correspondiente (el 2 al 2, los 3 al 3). Por ejemplo, si descomponemos 24 tendremos un carta de 2 en el 2 (24/2=12), luego otra carta en el 2 (12/2=6), luego otro 2 en el recuadro 2 (6/2=3) y finalmente un 3 en el recuadro 3 (da igual que sean copas, bastos, oros…).

Con el mismo método «factorizamos» el otro número. Finalmente solo habrá que coger las cartas que tengan en común y ponerlas en medio. Si hay varios en cada recuadro se extrae solo una. Equivale a coger los productos comunes al mínimo exponente. Adjunto esquema con la jugada ya terminada. Con el tablero real queda más bonito usando cartas en vez de números y ayuda a fijar la atención de los niños.

Como vemos de los factores (2x2x2,3,5) y (2,3,7) tienen el común el 2 al cubo (trío de cartas) con el 2 y el 3 con el 3, pues el 5 y el 7 no están en común. Se coge por tanto el 2 (pues tiene menos exponente que el 2 al cubo) y el 3.

Mínimo común múltiplo.

Pues muy parecido, la factorización es idéntica. La diferencia estriba en que para calcularlo cogemos tanto los comunes como los no comunes, y en vez de coger los de mínimo exponente se coge el de máximo exponente (nos quedamos con el trío esta vez). Luego se multiplican y ya está. Adjunto esquema aclaratorio.

Comprobación y otra manera de hayar el m.c.m (relacionandolo con el M.c.d.).

Hasta aquí hemos visto todo lo que realmente tienen que aprender los niños, lo que viene a continuación es un poco más avanzado asi que se le debe dar a aquellos niños que vayan por delante de la clase y que tengan inquietudes. Para aquellos que acaben sus tareas antes que el resto de la clase (así no se aburren y entretienen a los demás). Partimos del M.c.d para hayar el m.c.m. Intentaré exponerlo de la manera más sencilla que pueda.

El M.c.d por definición es un divisor común a ambos números, y de todos ellos, es el más grande de todos. Por lo que podemos dividir el número por el m.c.d y será una división sencilla (pues se divide por el más grande posible). El número que dé podemos multiplicarlo al otro número para calcular directamente el m.c.m .

La explicación es debida a que si multiplicamos 2 números entre sí, el resultado obviamente es divisible por cualquiera de los factores (y dando la división el otro número) si 2×4=8. (8 es divisible por 2 y 8 es divisible por 4 pues sale de multiplicarlos).

En nuestro caso 120×42 será divisible por 120 (y da 42) y por 42 (y da 120). Es una manera sencilla de hayar un común múltiplo. Pero el mínimo común múltiplo es, de todos los posibles, el más chico. Como queremos el más chico habrá que hayarlo multiplicándolo con el factor más chico posible (y el factor más chico posible siempre es el resultado de usar el divisor más grande posible, es decir, el M.c.d.).

Por tanto 120*42/6 es lo mismo que 24*120/6. Como usamos un común divisor nos aseguramos que la división es posible. Como de todos los comunes divisores cogemos el más grande de todos (el M.c.d) nos aseguramos que el común múltiplo sea el mínimo.

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