{"id":21,"date":"2012-02-11T19:06:58","date_gmt":"2012-02-11T19:06:58","guid":{"rendered":"http:\/\/estuprofe.com\/?p=21"},"modified":"2012-02-11T19:06:58","modified_gmt":"2012-02-11T19:06:58","slug":"la-divina-proporcion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/estuprofe.com\/juegos\/2012\/02\/11\/la-divina-proporcion\/","title":{"rendered":"La divina proporci\u00f3n."},"content":{"rendered":"<p><a href=\"http:\/\/estuprofe.com\/2012\/02\/seccion-ac3barea.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-22\" title=\"Espiral aurea\" src=\"http:\/\/estuprofe.com\/2012\/02\/seccion-ac3barea.jpg?w=300\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"118\" srcset=\"https:\/\/estuprofe.com\/juegos\/wp-content\/uploads\/2012\/02\/seccion-ac3barea.jpg 358w, https:\/\/estuprofe.com\/juegos\/wp-content\/uploads\/2012\/02\/seccion-ac3barea-300x118.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a>Esta entrada versar\u00e1 sobre una proporci\u00f3n matem\u00e1tica que aparece numerosas veces en la naturaleza. Algunos artistas como Leonardo, Seurat, Miguel \u00c1ngel, Mozart&#8230; la conocieron y aplicaron en sus obras de arte. Con este art\u00edculo aprenderemos a dibujarla y a calcularla num\u00e9ricamente de una manera f\u00e1cil (partiendo de su construcci\u00f3n y el teorema de pit\u00e1goras). El n\u00famero dorado, \u00abfi\u00bb es:<\/p>\n<p>1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818902&#8230;( y sigue, es irracional, infinitos decimales)<\/p>\n<h2><!--more--><\/h2>\n<h2>EJEMPLOS.<\/h2>\n<p>Como ejemplos naturales mencionar\u00e9:<\/p>\n<ul>\n<li>El n\u00famero de pares de conejos n meses despu\u00e9s de que una pareja empiece a reproducirse (as\u00ed descubri\u00f3 Fibonacci la serie que da nombre al n\u00famero Fi).<\/li>\n<li>La proporci\u00f3n entre las falanges de los dedos, y entre los brazos-antebrazos&#8230;<\/li>\n<li>La distribuci\u00f3n de los p\u00e9talos en las flores y las hojas en los tallos, tambi\u00e9n las nervaduras en las hojas siguen esta proporci\u00f3n. En la Naturaleza, las hojas de una planta se cubren entre s\u00ed lo menos posible para un m\u00e1ximo aprovechamiento de la luz solar; lo mismo en las ramas que crecen del tronco, las hojas se desarrollan<br \/>\nen ligera rotaci\u00f3n sobre la anterior, dando una pauta de crecimiento en espiral donde existe una relaci\u00f3n natural con la serie Fibonacci. \u00c9ste fen\u00f3meno se advierte en todo tipo de vegetales.<\/li>\n<li>La relaci\u00f3n entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a\u00a0\u03c6 tomando como unidad la rama superior).<\/li>\n<li>La distancia entre las espirales de una pi\u00f1a.<\/li>\n<li>En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos org\u00e1nicos como las pi\u00f1as de los pinos se encuentran n\u00fameros pertenecientes a la sucesi\u00f3n de Fibonacci. El cociente de dos n\u00fameros sucesivos de esta sucesi\u00f3n tiende al n\u00famero \u00e1ureo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Como ejemplos en la historia del arte:<\/p>\n<ul>\n<li>En la gran pir\u00e1mide de Gizeh, lo encontramos en la relaci\u00f3n existente entre la apotema y su altura.<\/li>\n<li>La relaci\u00f3n entre el techo y las columnas del Parten\u00f3n<\/li>\n<li>En el cuadro <em><a title=\"Leda at\u00f3mica\" href=\"http:\/\/3.bp.blogspot.com\/_DQYtQUDZWHk\/TCqVP3Uz91I\/AAAAAAAAAEI\/xy2Zt7t9mhQ\/s1600\/AtomicaLeda.jpg\">Leda at\u00f3mica<\/a><\/em>, de Salvador Dal\u00ed, hecho en colaboraci\u00f3n con el matem\u00e1tico rumano Matila Ghyka.<\/li>\n<li>En los violines, la ubicaci\u00f3n de las efes o eses (los \u201co\u00eddos\u201d u orificios en la tapa) se relaciona con el n\u00famero \u00e1ureo.<\/li>\n<li>El n\u00famero \u00e1ureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de <a title=\"Miguel \u00c1ngel\" href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Miguel_%C3%81ngel\">Miguel \u00c1ngel<\/a>, <a title=\"Durero\" href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Durero\">Durero<\/a> y <a title=\"Leonardo Da Vinci\" href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Leonardo_Da_Vinci\">Leonardo Da Vinci<\/a>, entre otros.<\/li>\n<li>Las relaciones entre articulaciones en el <a title=\"Hombre de Vitruvio\" href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Hombre_de_Vitruvio\">hombre de Vitruvio<\/a> y en otras obras de <a title=\"Leonardo da Vinci\" href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Leonardo_da_Vinci\">Leonardo da Vinci<\/a><\/li>\n<li>En las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la <em>Quinta Sinfon\u00eda<\/em> de Ludwig van Beethoven (s\u00ed, esa que todos conocemos, la de POPOPO POMMMM, POPOPO POMMMM), en obras de Franz Schubert y Claude Debussy.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Incluyo ahora un video con im\u00e1genes del n\u00famero a\u00fareo en la naturaleza,<\/p>\n<p><a title=\"Parto en la naturaleza\" href=\"http:\/\/blip.tv\/file\/get\/EKOXMUNiDAD-PARTOENLANATURALEXA808.avi\">http:\/\/blip.tv\/file\/get\/EKOXMUNiDAD-PARTOENLANATURALEXA808.avi<\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h2>RAZ\u00d3N GEOM\u00c9TRICA y RAZ\u00d3N ARITM\u00c9TICA.<\/h2>\n<p>La principal propiedad de esta proporci\u00f3n es que partiendo de un segmento, si lo dividimos en 2 partes \u00aba\u00fareos\u00bb, la proporci\u00f3n entre la suma de los dos lados y el lado mayor, es igual a la existente entre el lado mayor y el lado menor. Ve\u00e1moslo gr\u00e1ficamente.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/estuprofe.com\/2012\/02\/nc3bamero-aureo.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignright size-full wp-image-23\" title=\"n\u00famero aureo\" src=\"http:\/\/estuprofe.com\/2012\/02\/nc3bamero-aureo.png\" alt=\"\" width=\"200\" height=\"93\" \/><\/a>Si <span style=\"color:#00ff00;\">a+b<\/span> entre <span style=\"color:#3366ff;\">a<\/span> es igual a <span style=\"color:#3366ff;\">a<\/span> entre<span style=\"color:#ff0000;\"> b<\/span> decimos que guardan proporci\u00f3n \u00e1urea, y lo m\u00e1s interesante, su progresi\u00f3n. si le sumamos al segmento <span style=\"color:#00ff00;\">a+b<\/span>\u00a0 el segmento <span style=\"color:#3366ff;\">a<\/span>, el nuevo segmento a+b+a mantendr\u00e1 la proporci\u00f3n a\u00farea con el segmento<span style=\"color:#00ff00;\"> a+b<\/span>, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n<p>Una<span style=\"text-decoration:underline;\"> progresi\u00f3n geom\u00e9trica<\/span> es cuando un elemento se obtiene a partir de multiplicar el elemento anterior por una constante, por ejemplo, la serie:<\/p>\n<p>1, 2, 4, 8, 16, 32&#8230;cumple esa propiedad, vemos que 2\/1 = 4\/2 = 8\/4 = 16\/8 = constante 2.<\/p>\n<p>Una <span style=\"text-decoration:underline;\">progresi\u00f3n aritm\u00e9tica<\/span> es cuando un elemento se obtiene a partir de sumar los elementos anteriores progresivamente, por ejemplo:<\/p>\n<p>2, 2, 4, 6, 10, 16, 26&#8230;vemos que 2+2=4 y 4+2=6, 10+16=26, etc&#8230; Normalmente una serie aritm\u00e9tica no es geom\u00e9trica, vemos que 4\/2=2 pero 16\/10=1,6&#8230;<\/p>\n<p>En la serie de fibonacci, se da la particularidad siguiente, es una serie aritm\u00e9tica (a partir de la suma de los anteriores) y tiende hacia una raz\u00f3n geom\u00e9trica dorada \u03c6:<\/p>\n<p>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 &#8230; como vemos se van sumando cada uno de los t\u00e9rminos y su proporci\u00f3n geom\u00e9trica se va aproximando al n\u00famero dorado. Es una proporci\u00f3n geom\u00e9trica y aritm\u00e9tica. Es decir, 144 es 55+89 y adem\u00e1s 144\/89 es\u00a01.617977528089888, pr\u00e1cticamente \u03c6.<\/p>\n<h2>DIBUJO y C\u00c1LCULO DE LA SECCI\u00d3N A\u00daREA<\/h2>\n<p><a href=\"http:\/\/estuprofe.com\/2012\/02\/seccion-aurea-model2.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignleft size-medium wp-image-26\" title=\"dibujo rectangulo aureo\" src=\"http:\/\/estuprofe.com\/2012\/02\/seccion-aurea-model2.jpg?w=300\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"114\" srcset=\"https:\/\/estuprofe.com\/juegos\/wp-content\/uploads\/2012\/02\/seccion-aurea-model2.jpg 1600w, https:\/\/estuprofe.com\/juegos\/wp-content\/uploads\/2012\/02\/seccion-aurea-model2-300x114.jpg 300w, https:\/\/estuprofe.com\/juegos\/wp-content\/uploads\/2012\/02\/seccion-aurea-model2-1024x391.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a>Vamos a dibujar un rect\u00e1ngulo que guarde esa proporci\u00f3n entre el lado mayor y el lado menor. Para hacerlo partimos de un cuadrado unidad, y desde el punto medio trazamos un arco hasta uno de los v\u00e9rtices. Llevamos ese v\u00e9rtice hasta la prolongaci\u00f3n del lado y ya lo tenemos.<\/p>\n<p>Esta es la construcci\u00f3n m\u00e1s sencilla que conozca, partir\u00e9 de esta construcci\u00f3n para calcular el n\u00famero dorado. (he visto por ah\u00ed otras maneras de calcular \u00abFI\u00bb pero no me parecen tan sencillas pues como yo lo hago solo hay que saber el teorema de pit\u00e1goras).<\/p>\n<p>La proporci\u00f3n entre b y a es \u03c6, como hemos dicho, simplemnte dividiremos b entre a. Si partimos de un rect\u00e1ngulo unidad para construirlo, a=1. el trozo b es igual a \u03c6.<\/p>\n<p>El trozo b es un poco m\u00e1s complicado de sacar pero sigue siendo f\u00e1cil, est\u00e1 formado por un trozo de 0,5 (desde el v\u00e9rtice hasta el punto medio) y a este trozo se le suma la hipotenusa h (que se abate hasta chocar con el suelo del rect\u00e1ngulo. Seg\u00fan pit\u00e1goras la hipotenusa es la raiz cuadrada de la suma de los catetos al cuadrado, por tanto \u03c6 es 0,5 m\u00e1s la hipotenusa del tri\u00e1ngulo que he dibujado:<\/p>\n<h3><a href=\"http:\/\/estuprofe.com\/2012\/02\/formula1.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-28\" title=\"formula\" src=\"http:\/\/estuprofe.com\/2012\/02\/formula1.jpg?w=300\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"152\" srcset=\"https:\/\/estuprofe.com\/juegos\/wp-content\/uploads\/2012\/02\/formula1.jpg 347w, https:\/\/estuprofe.com\/juegos\/wp-content\/uploads\/2012\/02\/formula1-300x152.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><span style=\"color:#99cc00;\">El resultado es <span style=\"color:#000000;\">1.6180339887498949025257388711906969547271728515625<\/span><\/span><\/h3>\n<p><a href=\"http:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-nc-sa\/3.0\/\" rel=\"license\"><img decoding=\"async\" style=\"border-width:0;\" src=\"http:\/\/i.creativecommons.org\/l\/by-nc-sa\/3.0\/88x31.png\" alt=\"Licencia de Creative Commons\" \/><\/a><br \/>\nblog by <a href=\"http:\/\/estuprofe.com\/about\/\" rel=\"cc:attributionURL\">Luis Zurita Herrera<\/a> is licensed under a <a href=\"http:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-nc-sa\/3.0\/\" rel=\"license\">Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 3.0 Unported License<\/a>.<br \/>\nCreado a partir de la obra en <a href=\"http:\/\/estuprofe.com\" rel=\"dct:source\">estuprofe.com<\/a>.<br \/>\nPermissions beyond the scope of this license may be available at <a href=\"http:\/\/www.estuprofe.com\" rel=\"cc:morePermissions\">www.estuprofe.com<\/a>.<\/p>\n<p>S\u00edguenos en Facebook y en twitter:<br \/>\n<a href=\"https:\/\/twitter.com\/estuprofe\">Sigue @estuprofe<\/a><br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.facebook.com\/pages\/Estuprofe\/179656135476282\">Sigue estuprofe en facebook<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<a href=\"https:\/\/estuprofe.com\/juegos\/2012\/02\/11\/la-divina-proporcion\/\" rel=\"bookmark\" title=\"Enlace permanente a La divina proporci\u00f3n.\"><p>Esta entrada versar\u00e1 sobre una proporci\u00f3n matem\u00e1tica que aparece numerosas veces en la naturaleza. 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