en Matemáticas

La divina proporción.

Esta entrada versará sobre una proporción matemática que aparece numerosas veces en la naturaleza. Algunos artistas como Leonardo, Seurat, Miguel Ángel, Mozart… la conocieron y aplicaron en sus obras de arte. Con este artículo aprenderemos a dibujarla y a calcularla numéricamente de una manera fácil (partiendo de su construcción y el teorema de pitágoras). El número dorado, «fi» es:

1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818902…( y sigue, es irracional, infinitos decimales)

EJEMPLOS.

Como ejemplos naturales mencionaré:

  • El número de pares de conejos n meses después de que una pareja empiece a reproducirse (así descubrió Fibonacci la serie que da nombre al número Fi).
  • La proporción entre las falanges de los dedos, y entre los brazos-antebrazos…
  • La distribución de los pétalos en las flores y las hojas en los tallos, también las nervaduras en las hojas siguen esta proporción. En la Naturaleza, las hojas de una planta se cubren entre sí lo menos posible para un máximo aprovechamiento de la luz solar; lo mismo en las ramas que crecen del tronco, las hojas se desarrollan
    en ligera rotación sobre la anterior, dando una pauta de crecimiento en espiral donde existe una relación natural con la serie Fibonacci. Éste fenómeno se advierte en todo tipo de vegetales.
  • La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a φ tomando como unidad la rama superior).
  • La distancia entre las espirales de una piña.
  • En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.

Como ejemplos en la historia del arte:

  • En la gran pirámide de Gizeh, lo encontramos en la relación existente entre la apotema y su altura.
  • La relación entre el techo y las columnas del Partenón
  • En el cuadro Leda atómica, de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.
  • En los violines, la ubicación de las efes o eses (los “oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
  • El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.
  • Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci
  • En las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfonía de Ludwig van Beethoven (sí, esa que todos conocemos, la de POPOPO POMMMM, POPOPO POMMMM), en obras de Franz Schubert y Claude Debussy.

Incluyo ahora un video con imágenes del número aúreo en la naturaleza,

http://blip.tv/file/get/EKOXMUNiDAD-PARTOENLANATURALEXA808.avi

 

RAZÓN GEOMÉTRICA y RAZÓN ARITMÉTICA.

La principal propiedad de esta proporción es que partiendo de un segmento, si lo dividimos en 2 partes «aúreos», la proporción entre la suma de los dos lados y el lado mayor, es igual a la existente entre el lado mayor y el lado menor. Veámoslo gráficamente.

Si a+b entre a es igual a a entre b decimos que guardan proporción áurea, y lo más interesante, su progresión. si le sumamos al segmento a+b  el segmento a, el nuevo segmento a+b+a mantendrá la proporción aúrea con el segmento a+b, y así sucesivamente.

Una progresión geométrica es cuando un elemento se obtiene a partir de multiplicar el elemento anterior por una constante, por ejemplo, la serie:

1, 2, 4, 8, 16, 32…cumple esa propiedad, vemos que 2/1 = 4/2 = 8/4 = 16/8 = constante 2.

Una progresión aritmética es cuando un elemento se obtiene a partir de sumar los elementos anteriores progresivamente, por ejemplo:

2, 2, 4, 6, 10, 16, 26…vemos que 2+2=4 y 4+2=6, 10+16=26, etc… Normalmente una serie aritmética no es geométrica, vemos que 4/2=2 pero 16/10=1,6…

En la serie de fibonacci, se da la particularidad siguiente, es una serie aritmética (a partir de la suma de los anteriores) y tiende hacia una razón geométrica dorada φ:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 … como vemos se van sumando cada uno de los términos y su proporción geométrica se va aproximando al número dorado. Es una proporción geométrica y aritmética. Es decir, 144 es 55+89 y además 144/89 es 1.617977528089888, prácticamente φ.

DIBUJO y CÁLCULO DE LA SECCIÓN AÚREA

Vamos a dibujar un rectángulo que guarde esa proporción entre el lado mayor y el lado menor. Para hacerlo partimos de un cuadrado unidad, y desde el punto medio trazamos un arco hasta uno de los vértices. Llevamos ese vértice hasta la prolongación del lado y ya lo tenemos.

Esta es la construcción más sencilla que conozca, partiré de esta construcción para calcular el número dorado. (he visto por ahí otras maneras de calcular «FI» pero no me parecen tan sencillas pues como yo lo hago solo hay que saber el teorema de pitágoras).

La proporción entre b y a es φ, como hemos dicho, simplemnte dividiremos b entre a. Si partimos de un rectángulo unidad para construirlo, a=1. el trozo b es igual a φ.

El trozo b es un poco más complicado de sacar pero sigue siendo fácil, está formado por un trozo de 0,5 (desde el vértice hasta el punto medio) y a este trozo se le suma la hipotenusa h (que se abate hasta chocar con el suelo del rectángulo. Según pitágoras la hipotenusa es la raiz cuadrada de la suma de los catetos al cuadrado, por tanto φ es 0,5 más la hipotenusa del triángulo que he dibujado:

El resultado es 1.6180339887498949025257388711906969547271728515625

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